provided that ...

za předpokladu, že ...
"We'll be there at about 7.30, provided that there's a suitable train." (Budeme tam okolo 7:30 za předpokladu, že bude k dispozici příhodný vlak.)

pod podmínkou, že ...
"He's welcome to come along, provided that he behaves himself." (Může jít též s námi, ale pod podmínkou/za předpokladu, že se bude chovat slušně.)